3.3 Скин-эффект

Рассмотрим распространение плоской электромагнитной волны вдоль оси (рис. 3.1) в её положительном направлении () , поляризованной вдоль оси , в однородной среде с комплексным значением диэлектрической проницаемости , определяемым по формуле (3.14), и со значением магнитной проницаемости, равным единице: . В дальнейшем при изучении свойств электромагнитных волн для упрощения расчётов мы будем всегда полагать значение магнитной проницаемости среды распространения, равной единице.

Также предположим, что комплексный характер диэлектрической проницаемости обусловлен проводимостью среды. Вследствие этого в среде будут возбуждаться токи проводимости и поэтому часть энергии электромагнитной волны превратится в теплоту. В результате следует ожидать уменьшения амплитуды колебаний векторов напряжённости электрического и магнитного полей в электромагнитной волне по мере её распространения вглубь среды. В таких случаях говорят о распространении электромагнитной волны в среде с потерями. В рассматриваемой задаче потери энергии обусловлены проводимостью среды, а для их нахождения необходимо решить уравнения Максвелла в комплексной форме (3.9).

Решением уравнений Максвелла (3.9) в однородной среде в комплексной форме в виде плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси , будут комплексные амплитуды плоских электромагнитных волн, определяемые выражениями (3.5), (3.7), в которых комплексное число (3.15b), зависящее от комплексной диэлектрической проницаемости . С учётом выражение для комплексных амплитуд векторов напряженности электрического и магнитного полей плоской электромагнитной волны в рассматриваемой среде будут иметь вид :

В этих выражениях можно считать также комплексным числом, если начальная фаза колебаний электромагнитной волны не равна нулю:

Учитывая введенные выше обозначения для , получим при их подстановке в (3.21) следующие выражения для искомых комплексных амплитуд электромагнитной волны:

Для перехода к действительной форме представления колебаний электромагнитной волны необходимо в соответствии с (3.4) определить действительные части выражений (3.22), каждое из которых предварительно умножено на временной фактор :

Из этих выражений следует, что для сред с комплексным показателем преломления напряжённости электрического и магнитного полей электромагнитной волны по мере своего распространения вглубь среды на расстояние затухает по экспоненте (рис. 3.2), степень затухания которой определяется мнимой частью волнового числа электромагнитной волны в данной среде:

Если затухание волны на расстоянии своего распространения x не велико, т. е. для , то электромагнитная волна приближенно может считаться периодической в пространстве (рис. 3.2), причём, её пространственный период определяется модулем действительной части волнового числа волны в данной среде:

В среде без потерь :

где - длина волны в вакууме; - показатель преломления среды.

При наличии проводимости среды электромагнитная волна будет затухать по мере своего распространения вглубь среды, т. е. амплитуды её электрического и магнитного полей будут стремиться к нулю. Это уменьшение будет сопровождаться ослаблением до нуля потока мощности электромагнитного поля волны. Таким образом, в зависимости от степени затухания волны на какой-то длине своего распространения амплитуды полей волны можно будет считать равными нулю. Это обозначает, что электромагнитное поле проникает в среду с потерями на конечную глубину.

Эффект проникновения электромагнитного поля в среду с потерями на конечную глубину составляет суть скин-эффекта. Количественной характеристикой скин-эффекта является глубина проникновения электромагнитного поля в среду с потерями, называемая толщиной скин-слоя.

Для оценки толщины скин-слоя определяется расстояние, на котором величина среднего потока мощности электромагнитного поля ,переносимого волной, уменьшится в 'e' раз по сравнению с его значением на границе среды (рис. 3.2). Учитывая, что средний поток мощности в соответствии с выражением (1.26) пропорционален квадрату модуля любого из векторов напряженностей электрического и магнитного полей, получаем из (3.23) и (3.24):

Итак, в средах с комплексным значением диэлектрической проницаемости, в частности в средах с потерями, глубина проникновения электромагнитной волны имеет конечное значение и определяется мнимой частью комплексной диэлектрической проницаемости. Действительной частью диэлектрической проницаемости определяется пространственная периодичность электромагнитной волны вблизи границы среды.

Оценим толщину скин-слоя для проводников. Для проводников мнимая часть в соответствии с (3.18) комплексной диэлектрической проницаемости определяется их удельной проводимостью, т.е. . Причем, характерно значительное превышение модуля мнимой части над действительной.

Учитывая эти соображения, для расчёта толщины скин-слоя по формуле (3.25) необходимо рассчитать мнимую часть волнового числа , равную в соответствии с (3.15) и (3.18):

Отсюда следует выражение для расчёта глубины скин-слоя в среде с удельной проводимостью :

где - длина волны в вакууме.

Оценим по порядку величины глубину проникновения электромагнитной волны внутрь хорошего проводника. Хорошо известны проводящие свойства меди, широко используемые на практике. Для меди значение удельной проводимости ом ^-1метр^-1 в выражении (3.27) приводит в зависимости от длины электромагнитной волны к следующим толщинам скин-слоя:

мм для км;

мкм для м;

мкм для м;

мкм для см

Результаты расчетов показывают, что при уменьшении длины волны в 100 раз, глубина проникновения волны уменьшается в 10 раз в соответствии с формулой (3.27) , отмечающей её зависимость от корня квадратного длины волны.

Для идеального проводника и толщина скин-слоя стремится к нулю, т. е. электромагнитная волна при облучении идеального проводящего тела не проникает внутрь и полностью отражается от его поверхности. Именно этим обстоятельством объясняется характерный блеск металлических тел, являющихся хорошими проводниками.

Для плохих проводников, идеальных диэлектриков, и толщина скин-слоя . Иными словами электромагнитная волна может беспрепятственно распространяться внутри идеального диэлектрика без уменьшения амплитуд векторов напряженностей электромагнитных полей по мере её прохождения идеального диэлектрика. По этой причине внешние поверхности хороших диэлектриков не являются столь блестящими при отражении света, как поверхности металлов.